四棱锥P-ABCD,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC平行AD,角BAD等于90度,AB等于BC等于1/2AD求证CD垂直平面PAC

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四棱锥P-ABCD,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC平行AD,角BAD等于90度,AB等于BC等于1/2AD
求证CD垂直平面PAC

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答案和解析

作CE⊥AD于E,ABCE是矩形.又AB=BC=1/2AD,ABCE是正方形.且DE=AD-AE=AD-BC=BC.由勾股定理,CD²=CE²+ED²=2BC².AC²=AB²+BC²=2BC².因此AD²=(2BC)²=4BC²=CD²+AC²,因此△ACD是直角三角形,∠ACD=90°.CD⊥AC.又PA⊥平面ABCD,所以PD²=PA²+AD²=PA²+CD²+AC²,PC²=PA²+AC²,所以PD²=CD²+PC²,CD⊥PC.因此CD垂直平面PAC

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