已知三角形ABC中,A（4,5）,B点在X轴上,C点在直线L：2X-Y+2=0上,求三角形ABC周长最小值及B,C坐标

Question

已知三角形ABC中,A（4,5）,B点在X轴上,C点在直线L：2X-Y+2=0上,求三角形ABC周长最小值及B,C坐标

Answer 1

思路：
找点A关于直线L及x轴的对称点,像这种距离最小的问题,不会是把距离用坐标表示出现,那样即使表达出来了,也不能求最值,通常的方法是利用几何作图,把几段距离最终转化为平面上的线段最短这样的模型!
A点(4,5),点A关于直线l:2x-y+2=0对称的点为D,设D(x,y)
则点D(x,y)与点A(4,5)的中点在直线2x-y+2=0上
有x+4-1/2(y+5)+2=0①
直线AD一定垂直于直线2x-y+2=0
则（y-5)/(x-4)=-1/2②
由①②得D点坐标为（0,7)（这是求点关于直线的对称点的一般方法）
根据对称原理,△ABC的周长=AB+BC+CA＝EB＋DC+BC
当且仅当D,C,B,E四点共线时EB＋DC+BC有最小值,即△ABC周长达到最小.
最小值是DE＝4√10
B,C的坐标自己求吧,就是直线DE与L及x轴的交点,求一下方程就可以了.