设幂级数∞n＝0anxn的收敛半径为3，则幂级数∞n＝1nan(x−1)n+1的收敛区间为．

Question

设幂级数

∞

n＝0

anxn的收敛半径为3，则幂级数

∞

n＝1

nan(x−1)n+1的收敛区间为______．

Answer 1

因为

∞

n＝1

nan(x−1)n+1=(x−1)2

∞

n＝1

nan(x−1)n−1=(x−1)2

∞

n＝1

an((x−1)n)′，
又因为幂级数

∞

n＝0

anxn的收敛半径为3，
故利用幂级数的逐项可微性质可得，
当|x-1|＜3时，级数

∞

n＝1

nan(x−1)n+1收敛，
即当-2＜x＜4时，级数

∞

n＝1

nan(x−1)n+1收敛．
故答案为：（-2，4）．