若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为．

Question

若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为______．

Answer 1

（1）当-(a)/(2)>-1，即a<2时，
f(x)=

-3x-1-a，(x≤-1)

-x+1-a，(-1<x<-(a)/(2))

3x+1+a，(x≥-(a)/(2))

，
∴f（x）在区间（-∞，-(a)/(2)）上单调递减，在区间[-(a)/(2)，+∞）上单调递增，
当x=-(a)/(2)时取最小值．
∵函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，
∴f(-(a)/(2))=3．
∴a=-4．
（2）当-(a)/(2)<-1，即a>2时，
f(x)=

-3x-1-a，(x≤-(a)/(2))

x-1+a，(-(a)/(2)<x<-1)

3x+1+a，(x≥-1)

，
∴f（x）在区间（-∞，-(a)/(2)）上单调递减，在区间[-(a)/(2)，+∞）上单调递增，
当x=-(a)/(2)时取最小值．
∵函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，
∴f(-(a)/(2))=3．
∴a=8．
（3）当-(a)/(2)=-1，即a=2时，
f（x）=3|x+1|≥0，与题意不符．
综上，a=-4或a=8．
故答案为：a=-4或a=8．