1,化简f（x）=cos[(6k+1)/3·π+2x]+cos[(6k-1)/3`π-2x]+2*根号三sin（π/3+2x）（x是实数集,k是整数集）,并求函数f（x）的值域和最小正周期.2.已知函数f（x）=-x^3+3x^2+9x+a(1)求f（x）的单调递减区间；（2

Question

1,化简 f（x）=cos[(6k+1)/3·π+2x]+cos[(6k-1)/3`π-2x]+2*根号三sin（π/3+2x） （x是实数集,k是整数集）,并求函数f（x）的值域和最小正周期.
2.已知函数f（x）=-x^3+3x^2+9x+a
(1)求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

Answer 1

f（x）=cos[(6k+1)/3·π+2x]+cos[(6k-1)/3`π-2x]+2*根号三sin（π/3+2x）
=cos(2kπ+2x+π/3)+cos(2kπ-(2x+π/3))+2√3sin(2x+π/3)
=2cos(2x+π/3)+2√3sin(2x+π/3)
=4sin(2x+π/3+π/6)
=4sin(2x+π/2)
=4cos2x
故最小正周期是T＝π, 值域是[-4,4]
2. f(x)=-x^3+3x^2+9x+a
f'(x)=-3x^2+6x+9＝-3(x-3)(x+1)
令 f'(x)<0得：x3
故 f(x) 减区间是(-无穷,-1],[3,+无穷）
(2)由(1)知:f(x)在[-2,-1]上减,在[-1,2]上增,
f(-2)=a+2, f(2)=22+a
故最大值是f(2)=22+a=20, a=-2
f(x)=-x^3+3x^2+9x-2
在[-2,2]上的最小值是f(-1)=-7