设f(n)=(1+i/1-i)^n+(1-i/1+i)^n(n∈N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是~

Question

设f(n)=(1+i/1-i)^n+(1-i/1+i)^n (n∈N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是~

Answer 1

1+i/1-i=[(1+i)(1+i)]/[(1-i)(1+i)]=i
1-i/1+i=[(1-i)(1-i)]/[(1-i)(1+i)]=-i
∴f(n)=(1+i/1-i)^n+(1-i/1+i)^n=i^n+(-i)^n=[1+(-1)^n]*i^n
i的周期是4,所以只要把n从1取到4试下就可以了
n=1,f(1)=0
n=2,f(2)=-2
n=3,f(3)=0
n=4,f(4)=2
f(5)=f(1)=0.
即集合{x|x=f(n)}中元素的个数是3