求极限,用f(n)表示能整除n的素数的个数,求lim(n→∞)[f(n)/n]

Question

求极限,用f(n)表示能整除n的素数的个数,求 lim(n→∞)[f(n)/n]

Answer 1

lim(n→∞)[f(n)/n]
对于任意的整数n都有n以内的素数个数≤2√(n),
显然如果n可以写成p*Q的形式,如果p≥√(n),则必然Q≤√(n),
小于或等于√(n)的整数个数为√(n)个.
于是对于任意的整数n都有n以内的素数个数≤2√(n).
lim(n→∞)[f(n)/n]
≤lim(n→∞)[2√(n)/n]
≤lim(n→∞)[2/√(n)]
=0
又知lim(n→∞)[f(n)/n]≥0,
由夹挤定理得
lim(n→∞)[f(n)/n]=0.