如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长．

Question

如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．

（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
（2） 由（1）得：四边形EBFD是菱形，
∴BF=BE，
设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
则3²+（9-x）²=x²，
解得：x=5．
∴BF=BE=5，AE=4，
作EM⊥BC于M，
如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，
∴MF=BF-BM=1，
∴EF=√(EM2+MF2)=√(32+12)=√(10)．