如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时停止运动．设点P出发xs时，△PBC的面积为ycm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中

Question

如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm²．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？

Answer 1

（1）△DOE是等腰三角形．
理由如下：过点A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM=(√(3))/(3)×(a)/(2)=(√(3))/(6)a，AC=AB=(√(3))/(3)a，
∴S_△ABC=(1)/(2)BC•AM=(√(3))/(12)a²，
∴P在边AB上时，
y=(x)/(AB)•S_△ABC=(1)/(4)ax，
P在边AC上时，
y=(AB+AC−x)/(AB)•S_△ABC=(√(3))/(6)a²-(1)/(4)ax，
作DF⊥OE于F，
∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，
∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，
∴点F是OE的中点，
∴DF是OE的垂直平分线，
∴DO=DE，
∴△DOE是等腰三角形．

（2）由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM=(√(3))/(3)×(a)/(2)=(√(3))/(6)a，
∴AB=(√(3))/(3)a，
∴D（(√(3))/(3)a，(√(3))/(12)a²），
∵DO=DE，AB=AC，
∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，
在Rt△DOF中，tan∠DOF=(yD)/(xD)=((√(3)a2)/(12))/((√(3))/(3)a)=(1)/(4)a，
由(1)/(4)a=tan30°=(√(3))/(3)，得a=(4√(3))/(3)，
∴当a=(4√(3))/(3)时，△DOE∽△ABC．