已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=54|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点A（-a，a）（a>0）在抛物线C上，是否存在直线l：y=kx+4与C交于点M，N

Question

已知抛物线C：x²=2py（p>0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=(5)/(4)|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）点A（-a，a）（a>0）在抛物线C上，是否存在直线l：y=kx+4与C交于点M，N，使得△MAN是以MN为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在说明理由．

Answer 1

（I）设Q（4，y₀），代入x²=2py，
得y0=(8)/(p) ， ∴|PQ|=(8)/(p) ， |QF|=(p)/(2)+y0=(p)/(2)+(8)/(p)．
由题设得(p)/(2)+(8)/(p)=(5)/(4)×(8)/(p)，解得p=-2（舍去）或p=2，
∴C的方程为x²=4y…（4分）
（II）由x²=4y知，点A（-4，4），假设存在满足条件的直线l，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组

x2=4y

y=kx+4

得x²-4kx-16=0，
△=16（k²+4）>0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16…（6分）
由题意得

AM

•

AN

=(x1+4，y1-4)(x2+4，y2-4)=(x1+4)(x2+4)+k2x1x2=（1+k²）x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=0，…（10分）
代入x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16得-（1+k²）+k+1=0，
解得k=0（舍）或k=1…（12分）