过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB？若

Question

过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵点A的纵坐标为1，|AF|=2，
∴由抛物线的定义得，1+(p)/(2)=2，p=2，
∴抛物线C的方程为：x²=4y；
（Ⅱ）∵F（0，1），直线l的斜率为2，
∴设直线l的方程是：y=2x+1，与抛物线方程联立，消去y，得，x²-8x-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=8，x₁x₂=-4．
假设抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB．
设M（m，n），则MA⊥MB，即

MA

•

MB

=0，
∴（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）=0，
∵x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，m²=4n，
∴（y₁-n）（y₂-n）=(1)/(16)（x₁-m）（x₂-m）（x₁+m）（x₂+m），
由于M与A，B不重合，∴16+（x₁+m）（x₂+m）=0，即16+m²+m（x₁+x₂）+x₁x₂=0，
化简得，16-4+8m+m²=0，解得m=-2，或-6．
故抛物线C上存在一点M（-2，1）或（-6，9），使得MA⊥MB．