已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）若直线AB过焦点F，求抛物线C的方程；（2）若QA⊥QB，求p的

Question

已知抛物线C：x²=2py（p>0）的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．

（1）若直线AB过焦点F，求抛物线C的方程；
（2）若QA⊥QB，求p的值．

Answer 1

（1）根据题意，直线2x-y+2=0与y轴的交点为（0，2），
则F（0，2），
∴抛物线C的方程为x²=8y；
（2）由 

y=2x+2

x2=2py

得：x²-4px-4p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p，
∴Q（2p，2p），∵QA⊥QB，则

QA

•

QB

=0，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（2x₂+2-2p）=0，
5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0，
代入得4p²+3p-1=0，解得p=(1)/(4)或p=-1（舍去）
∴p=(1)/(4)．