已知抛物线L：x2=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足AM+BM=0．（1）求实数p的取值范围；（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆

Question

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足

AM

+

BM

=0．
（1）求实数p的取值范围；
（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

＝0，查得M为AB的中点，即x₁+x₂=4．显然直线AB与x轴不垂直，
设直线AB的方程为y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，将y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．
∴

△＝4p2k2−16(k−1)p＞0

x1+x2＝2pk＝4

，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．
（2）当p=2时，由（1）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C(t，(t2)/(4))（t≠0且t≠4），
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|＝|NB

|NA|＝|NC

，∴

a2+b2

＝

(a−4)2+(b−4)2

a2+b2

＝

(a−t)2+(b−(t2)/(4))2

即

a+b＝4

4a+tb＝2t+(1)/(8)t3

解得

a＝−(t2+4t)/(8)

b＝(t2+4t+32)/(8)

．
∵抛物线L在点C处切线的斜率为k＝y′|x＝t＝(t)/(2)，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴(b−(t2)/(4))/(a−t)•(t)/(2)＝−1．
即2a+bt−2t−(1)/(4)t3＝0．
将a＝−(t2+4t)/(8)，b＝(t2+4t+32)/(8)代入上式，得t³-2t²-8t=0，
即t（t-4）（t+2）=0．
∵t≠0且t≠4，
∴t=-2．故存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）．