如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为23AP，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=3π4时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

Question

如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为(2)/(3)AP，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=(3π)/(4)时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

Answer 1

如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由题意弧AC的长为(2)/(3)x，半径OC=1，可知θ=(2)/(3)x，考虑θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴(AM)/(AP)＝(DM)/(DC)．
∵DM=y-（1-cos(2)/(3)x），DC=sin(2)/(3)x，∴(y)/(x)＝(y−(1−cos(2)/(3)x))/(sin(2)/(3)x)
∴y＝(x(1−cos(2)/(3)x))/(x−sin(2)/(3)x)．
上式两边对时间t进行求导，则y′_t=y′_x•x′_t．
∴y′_t=[((x−sin(2)/(3)x)(1−cos(2)/(3)x+(2)/(3)xsin(2)/(3)x)−x(1−cos(2)/(3)x)(1−(2)/(3)cos(2)/(3)x))/((x−sin(2)/(3)x)2)]x′t
当x＝(3)/(4)π时，x′_t=v，代入上式得点M的速度y′t＝(2(3π2−4π−8))/((3π−4)2)v．