在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcosαy=1+tsinα（t为参数，0≤α<π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线C1：p=1．（1）若直

Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=1+tcosα

y=1+tsinα

（t为参数，0≤α<π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线C₁：p=1．
（1）若直线l与曲线C₁相交于点A，B，点M（1，1），证明：|MA|•|MB|为定值；
（2）将曲线C₁上的任意点（x，y）作伸缩变换

x′=√(3x)

y′=y

后，得到曲线C₂上的点（x'，y'），求曲线C₂的内接矩形ABCD周长的最大值．

Answer 1

证明：（1）∵曲线C₁：p=1，∴曲线C₁：x²+y²=1．
联立

x=1+tcosα

y=1+tsinα

x2+y2=1

，得t²+2t（cosα+sinα）+1=0，
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=1．
（2）将曲线C₁上的任意点（x，y）作伸缩变换

x′=√(3x)

y′=y

，
伸缩变换后得C₂：(x2)/(3)+y2=1．
其参数方程为：

x=√(3)cosθ

y=sinθ

．
不妨设点A（m，n）在第一象限，
由对称性知：周长为4(m+n)=4(√(3)cosθ+sinθ)=8sin(θ+(π)/(3))≤8，（θ=(π)/(6)时取等号），
∴曲线C₂的内接矩形ABCD周长的最大值为8．