已知圆C过点M（0，-2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1

Question

已知圆C过点M（0，-2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C ₁ 过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设圆C的方程为x ² +y ² +Dx+Ey+F=0
则

-(D)/(2) -E+1=0

4-2E+F=0

10+3D+E+F=0

解得D=-6，E=4，F=4
∴圆C方程为x ² +y ² -6x+4y+4=0----------------------（5分）
（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x ₁ ，y ₁ ）、B（x ₂ ，y ₂ ），
则由

x 2 + y 2 -6x+4y+4=0

y=x+b

得2x ² +2（b-1）x+b ² +4b+4=0（*）
∴

x 1 + x 2 =1-b

x 1 • x 2 =(b2 +4b+4)/(2)

----------------------------（7分）
∴y ₁ y ₂ =（x ₁ +b）（x ₂ +b）= x 1 x 2 +b( x 1 + x 2 )+ b 2 ，
∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA ² +OB ² =AB ² ，
∴ x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 =( x 1 - x 2 ) 2 +( y 1 - y 2 ) 2
得x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ =0，---------------------------------（9分）
∴ 2 x 1 x 2 +b( x 1 + x 2 )+ b 2 =0 ，
即b ² +4b+4+b（1-b）+b ² =0，b ² +5b+4=0，∴b=-1或b=-4-----------（11分）
容易验证b=-1或b=-4时方程（*）有实根．
故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x-1或y=x-4．--------------------（12分）