双曲线C的一条渐近线方程是：x-2y=0，且曲线C过点(22，1)．（1）求双曲线C的方程；（2）设曲线C的左、右顶点分别是A1、A2，P为曲线C上任意一点，PA1、PA2分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最

Question

双曲线C的一条渐近线方程是：x-2y=0，且曲线C过点(2√(2)，1)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设曲线C的左、右顶点分别是A₁、A₂，P为曲线C上任意一点，PA₁、PA₂分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值．

Answer 1

（1）由渐近线方程可知，双曲线C的方程为x²-4y²=k，把(2√(2)，1)代入可得k=4，
所以双曲线方程为(x2)/(4)-y2=1．（4分）
（2）由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值．
由上可得A₁（-2，0），A₂（2，0），根据双曲线方程可得(y)/(x-2)•(y)/(x+2)=(1)/(4)，
所以设直线PA₁、PA₂的斜率分别为k₁、k₂（k₁、k₂>0），
则k1k2=(1)/(4)．PA₁的方程为y=k₁（x+2），令x=1，解得M（1，3k₁）
，PA₂的方程为y=k₂（x-2），令x=1，解得N（1，-k₂），
所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥2√(3k1k2)=√(3)．
当且仅当3k₁=k₂，即k1=(√(3))/(6)，k2=(√(3))/(2)时等号成立．（12分）