已知曲线C：x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0，其中常数k≠-1；（1）求证：对任意的k，曲线C是圆，并且圆心在同一条直线上；（2）证明：曲线C过定点；（3）若曲线C与x轴相切，求k的值．

Question

已知曲线C：x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0，其中常数k≠-1；
（1）求证：对任意的k，曲线C是圆，并且圆心在同一条直线上；
（2）证明：曲线C过定点；
（3）若曲线C与x轴相切，求k的值．

Answer 1

（1）曲线分成化简得：（x+k）²+（y+2k+5）²=5（k+1）²，
∵k≠-1，∴r²=5（k+1）²＞0，故曲线C都是圆，
∴圆心（-k，-2k-5），设x=-k，y=-2k-5，
∴y=2x-5，
则圆心在同一直线y=2x-5上；
（2）将x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0整理为：
k（2x+4y+10）+（x²+y²+10y+20）=0，
∴

2x+4y+10＝0

x2+y2+10y+20＝0

，
解得：

x＝1

y＝−3

，
曲线C过定点（1，-3）；
（3）∵曲线C与x轴相切，
∴|2k+5|＝√(5)|k+1|，
解得：k＝5±3√(5)，
则曲线C与x轴相切时k=5±3√(5)．