跪求数学高手……（关于直线和圆的相关问题）1.已知曲线C：x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.（1）求证：曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一直线上；（2）证明：曲线C过定点；（3）若曲

Question

跪求数学高手……（关于直线和圆的相关问题）
1.已知曲线C：x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.
（1）求证：曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一直线上；
（2）证明：曲线C过定点；
（3）若曲线C与x轴相切,求k的值.
2.已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于两点P、Q,O为原点,若OP⊥OQ,求实数m的值.

Answer 1

我又粗线了~
1
⑴x²＋y²＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0
x²＋2kx＋k²＋y²＋2(2k＋5)y＋(2k＋5)²＝－10k－20＋k²＋(2k＋5)²
(x＋k)²＋(y＋2k＋5)²＝5(k＋1)²
曲线C是以(－k,－2k－5)为圆心,√5·|k＋1|为半径的圆,其中k≠－1
圆心在直线x＝－k,y＝－2k－5上,即在直线2x－y－5＝0上,不包括点(1,－3)
⑵圆方程整理为关于k的直线方程得：k(2x＋4y＋10)＋x²＋y²＋10y＋20＝0
当2x＋4y＋10＝x^2＋y^2＋10y＋20＝0时上式恒成立,与k的取值无关
解得：x＝1,y＝－3
故曲线恒经过点(1,－3)
⑶当曲线满足圆心到x轴的距离等于圆的半径时,曲线与x轴正切
即有：|－2k－5|＝√5·|k＋1|
平方得到:4k²+20k+25=5k²+10k+5
所以,k²-10k-20=0
解得：k＝3√5＋5或k＝5-3√5
2
x²+y²+x-6y+m=0
即(x+0.5)²+(y-3)²=37/4-m
圆心为(-0.5,3)
x+2y-3=0与圆相交于P,Q
若OP⊥OQ
则O与l的距离L为O与P的距离的1/√2
所以,
圆心到直线x+2y-3=0的距离为：
L=|x+2y-3|/√5=√5/2
(√2L)² = 37/4-m
即2L²=37/4-m
m = 37/4 - 2L² = 37/4 - 2*(5/4) = 27/4