如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，PF=3FB．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求点P到平面BCD的距离．

Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，

PF

=3

FB

．

（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）若∠BAC=60°，求点P到平面BCD的距离．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM∥PA交AB于点M，
取AC的中点N，连接MN，EN．
∵点E为CD的中点，∴EN

∥

.

(1)/(2)AD．又PF=3FB，∴MF

∥

.

(1)/(2)AD，∴FM

∥

.

EN，
所以四边形MFEN为平行四边形，
∴EF∥MN，∵EF⊄平面ABC，MN⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC．…（6分）

法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB，
因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，
所以EF∥平面ABC．…（6分）

（Ⅱ） ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB．
又∠BAC=60°，AC=2，∴AB=1，  BC=√(3)，  BD=√(2)，
∴S△BCD=(1)/(2)BC • BD=(√(6))/(2)．
记点P到平面BCD的距离为d，则V_P-BCD=V_C-PBD，∴(1)/(3)S△BCD • d=(1)/(3)S△PBD • BC，
∴(√(6))/(2) • d=(1)/(2)PD • AB • BC⇒d=(√(2))/(2)，
所以，点P到平面BCD的距离为d=(√(2))/(2)．      …（12分）