求助一道数学题～设f(x)在〔0,1〕上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=0,f(1)=1,a、b在〔0,1〕内,试证明[0,1]内存在不相等的两个数c,d,使a/f'(c)+b/f'(d)=a+b～急啊～

Question

求助一道数学题～
设f(x)在〔0,1〕上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=0,f(1)=1,a、b在〔0,1〕内,试证明[0,1]内存在不相等的两个数c,d,使a/f'(c)+b/f'(d)=a+b～急啊～

Answer 1

你题中 设f(x)在〔0,1〕上连续,应该是闭区间[0,1]上连续.该是笔误.下面证明比较罗嗦,符号用得较多,难免有笔误,不清楚的请留言讨论.
考虑g(x) = f(x) - x.g(0)=g(1)=1.如果g(x)在内部有两个以上极值点.分别取c,d为不同极值点,则 f'(c)=f'(d)=1.结论成立.
下面设g在内部只有一个极值点,不妨设 g(x)在 0 1,于是 h(1) < a+b.
所以存在 t0 使得 h(t0) = a+b.
设 0