数学之圆锥曲线3已知圆C1的方程为（x-2)2+（y-1)2=20/3,椭圆C2的方程为x^/a^+y^/b^=1(a>b>0),C2的离心率为（根号2）/2,如果C1与C2相交于A,B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.正

Question

数学之圆锥曲线3
已知圆C1的方程为（x-2)2+（y-1)2=20/3,椭圆C2的方程为x^/a^+y^/b^=1(a>b>0),C2的离心率为（根号2）/2,如果C1与C2相交于A,B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.
正确者有重赏！
不是（x-2)2+（y-1)2=20/3，是（x-2)^+（y-1)^=20/3

Answer 1

设直线AB的方程为y=k(x-2)+1
将y代入椭圆方程得x^2/a^2+[k(x-2)+1]^2/b^2=1
整理得：（a^2k^2+b^2)x^2+(2a^2k-4a^2k^2)x-4a^2k+a^2-a^2b^2=0 ……①
设点A,B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)
由于AB为直径,所以x1+x2=4
所以-(2a^2k-4a^2k^2)/ (a^2k^2+b^2)=4
又因为e=√2/2,所以a^2=2b^2,代入①,移项、整理得：k=1
推出：y=x-1
接下来求出A,B两点代入椭圆方程就可以求出a,b了.
可能有更好的方法求出a,b,但我暂时还没想出来.