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已知数列.(I)求证:数列是等比数列;(II)若,且数列{bn}是单调递增数列,求实数λ的取值范围.
题目详情
已知数列
.
(I)求证:数列
是等比数列;
(II)若
,且数列{bn}是单调递增数列,求实数λ的取值范围.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343b321a7919613b07ecb808897.jpg)
(I)求证:数列
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/64380cd7912397ddf097b8b45c82b2b7d1a28797.jpg)
(II)若
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8c1001e93901213fdbdd6e6c51e736d12e2e9597.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(I)根据
,化简可得
=2
,从而可得数列
是等比数列;
(II)由(I)知
,从而
,由此可得数列{bn}的通项,利用数列{bn}是单调递增数列,即可求得实数λ的取值范围.
(I)证明:∵
,∴
=1+![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a6efce1b9d16fdfadb41e55eb18f8c5494ee7b54.jpg)
∴
=2![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dbb44aed2e738bd444cf9281a48b87d6267ff990.jpg)
∵a1=1,∴![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fc1f4134970a304ebe0f834ad4c8a786c9175c54.jpg)
∴数列
是等比数列;
(II)【解析】
由(I)知
,∴
,
∴![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7a899e510fb30f248eb7cfb3cd95d143ad4b0354.jpg)
∴
,b1=-λ适合
∵数列{bn}是单调递增数列,
∴bn+1>bn得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),∴λ<n+1,
∴λ<2.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3812b31bb051f819761720fadfb44aed2e73e754.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b21c8701a18b87d6dd7088af020828381f30fd54.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/622762d0f703918fb3fc1e7a543d269759eec454.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6d81800a19d8bc3e22e6267a878ba61ea9d34597.jpg)
(II)由(I)知
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df3d7ca7bcb0a46da0fa8896e63f6246b60af54.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d52a2834349b033b61a5df6a10ce36d3d539bd54.jpg)
(I)证明:∵
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/43a7d933c895d1437c98c49376f082025baf0797.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2fdda3cc7cd98d105ef92f81243fb80e7bec9054.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a6efce1b9d16fdfadb41e55eb18f8c5494ee7b54.jpg)
∴
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dbb44aed2e738bd444cf9281a48b87d6267ff990.jpg)
∵a1=1,∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fc1f4134970a304ebe0f834ad4c8a786c9175c54.jpg)
∴数列
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d9f2d3572c11dfa7389f93662762d0f603c290.jpg)
(II)【解析】
由(I)知
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/908fa0ec08fa513d31434c6e386d55fbb3fbd990.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/80cb39dbb6fd526611061fa4ae18972bd4073654.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7a899e510fb30f248eb7cfb3cd95d143ad4b0354.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d8f9d72a6059252de3fe3db4319b033b5ab5b990.jpg)
∵数列{bn}是单调递增数列,
∴bn+1>bn得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),∴λ<n+1,
∴λ<2.
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