数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{ann}是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n•an，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{(an)/(n)}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=3ⁿ•√(an)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

证明（Ⅰ）∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴(an+1)/(n+1)＝(an)/(n)+1，
∴(an+1)/(n+1)−(an)/(n)＝1，
∴数列{(an)/(n)}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(an)/(n)＝1+(n−1)•1＝n，
∴an＝n2，
b_n=3ⁿ•√(an)=n•3ⁿ，
∴Sn＝1×3+2×32+3×33+…+(n−1)•3^n-1+n•3ⁿ①
3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+(n−1)•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②
①-②得−2Sn＝3+32+33+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=(3−3n+1)/(1−3)−n•3n+1
=(1−2n)/(2)•3n+1−(3)/(2)
∴Sn＝(2n−1)/(4)•3n+1+(3)/(4)