设a,b是正整数,且b>2,则2^b-1不整除2^a+1

Question

设a,b是正整数,且b>2,则2^b-1不整除2^a+1

Answer 1

方法一：
假设：2^b-1 | 2^a+1　==>　2^b-1|2^2a-1
　　　因为（2^b-1,2^2a-1)=2^(b,2a) -1,且由上式知该公约数还＝2^b-1
所以b=(b,2a)　==>　b|2a
如果b|a==>2^b-1|2^a-1=2^a+1-2 　==>b|2,因为b>2不可能
如果b不|a则b是偶数,b=2k,k|a==>2^b-1=(2^k-1)(2^k+1)|2^a+1
2^k-1|2^a+1＝2^a-1+2,及a|k ==>2^k-1|2 ==>k=1 ==>b=2不可能
方法二：
设a=kb+r,0=0
2^b-1 >= 2^(r+1)-1=2*2^r-1=2^r+(2^r-1)>=2^r+1.二式
上式当且仅当c=0,r=1,即b=2时有等号成立
结合一式、二式,知等号成立,即b=2
与已知的“b>2“矛盾,所以假设不成立
即2^b-1不整除2^a+1