设圆x²+(y-1)²=1的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B当AB取最小值时,切线l在y轴上的截距为设x/a+y/b=1为切线AB²=a²+b²≥2aba=b时取等号再根据圆心到直线距离d=1和a=b求得

Question

设圆x²+(y-1)²=1的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B当AB取最小值时,切线l在y轴上的截距为 设x/a+y/b=1为切线 AB²=a²+b²≥2ab a=b时取等号 再根据圆心到直线距离d=1和a=b求得b=1+√2 求大神指导这种方法错误根本所在

Answer 1

设切线l为x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0,a>0,b>0,
圆心(0,1)到l 的距离=|a-ab|/√(a^2+b^2)=1,
平方得a^2-2a^2b+a^2b^2=a^2+b^2,
∴（a^2-1)b=2a^2,
b=2a^2/(a^2-1),①
∴AB^2=a^2+b^2=a^2+[2a^2/(a^2-1)]^2,设u=a^2>1,则
AB^2=u+[2u/(u-1)]^2,记为f(u),
f'(u)=1+2u/(u-1)*[-2/(u-1)^2]=1-4u/(u-1)^3=(u^3-3u^2-u-1)/(u-1)^3,②繁!
您的错误在于未先用相切的条件,由①,②知当AB取最小值时a≠b.