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设矩阵A=ααT，其中α是n维列向量，又已知αTα=1．（1）证明A2=A；（2）证明B=E+A+A2+…+An是可逆矩阵，并求逆矩阵B-1，这里E是n阶单位矩阵．
题目详情
设矩阵A=ααT，其中α是n维列向量，又已知αTα=1．
（1）证明A2=A；
（2）证明B=E+A+A2+…+An是可逆矩阵，并求逆矩阵B-1，这里E是n阶单位矩阵．
（1）证明A2=A；
（2）证明B=E+A+A2+…+An是可逆矩阵，并求逆矩阵B-1，这里E是n阶单位矩阵．
▼优质解答
答案和解析
证明：（1）由题意，A2=ααTααT=α（αTα）αT=αT=A
（2）由（1）知A2=A，因此A3=A，A4=A，…，An=A，
从而B=E+A+A2+…+An=E+nA
又(E+nA)(E-
A)=E-
A+nA-
A2=E-
A=E
故B=E+nA可逆，且
B-1=E-
A
（2）由（1）知A2=A，因此A3=A，A4=A，…，An=A，
从而B=E+A+A2+…+An=E+nA
又(E+nA)(E-
| n |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
| n2 |
| n+1 |
| n+n2-n(n+1) |
| n+1 |
故B=E+nA可逆，且
B-1=E-
| n |
| n+1 |
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