设矩阵A=ααT，其中α是n维列向量，又已知αTα=1．（1）证明A2=A；（2）证明B=E+A+A2+…+An是可逆矩阵，并求逆矩阵B-1，这里E是n阶单位矩阵．

Question

设矩阵A=αα^T，其中α是n维列向量，又已知α^Tα=1．
（1）证明A²=A；
（2）证明B=E+A+A²+…+Aⁿ是可逆矩阵，并求逆矩阵B^-1，这里E是n阶单位矩阵．

Answer 1

证明：（1）由题意，A²=αα^Tαα^T=α（α^Tα）α^T=α^T=A
（2）由（1）知A²=A，因此A³=A，A⁴=A，…，Aⁿ=A，
从而B=E+A+A²+…+Aⁿ=E+nA
又(E+nA)(E-(n)/(n+1)A)=E-(n)/(n+1)A+nA-(n2)/(n+1)A2=E-(n+n2-n(n+1))/(n+1)A=E
故B=E+nA可逆，且
B-1=E-(n)/(n+1)A