已知函数g(x)＝x3+(m2+2)x2−2x．（1）若m=-3，求函数g（x）的单调区间；（2）若对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，求实数m的取值范围．

Question

已知函数g(x)＝x3+((m)/(2)+2)x2−2x．
（1）若m=-3，求函数g（x）的单调区间；
（2）若对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=-3时，g'（x）=3x²+x-2=（x+1）（3x-2），
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＞0，得x＜-1，或x＞(2)/(3)；
由g'（x）=（x+1）（3x-2）＜0，得-1＜x＜(2)/(3)，
∴增区间：(−∞，−1)，((2)/(3)，+∞)，减区间：（-1，(2)/(3)）
（2）g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数，
∴

g′(t)＜0

g′(3)＞0

，
∴

3t2+(m+4)t−2＜0

27+(m+4)•3−2＞0

，
∴

m+4＜(2)/(t)−3t

m＞−(37)/(3)

，
解得−(37)/(3)＜m＜−9，
∴实数m的取值范围是{m|-(37)/(3)＜m＜−9}．