如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（）A．73B．523C．2113D．433

Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁，⊙O₂的半径分别为2，1．O₁A为⊙O₂的切线，AB为⊙O₂的直径，O₁B分别交⊙O₁，⊙O₂于C，D，则CD+3PD的值为（　　）

A．(7)/(3)
B．(5√(2))/(3)
C．(2√(11))/(3)
D．(4√(3))/(3)

Answer 1

连接O₁O₂，
∵AO₂=1，O₁O₂=3，
∴AO₁=√(32−1)=2√(2)，
∴BO₁=√(O1A2+AB2)=√(8+4)=2√(3)，
∴由切割线定理O₁A²=O₁D•O₁B，得O₁D=(8)/(2√(3))=(4√(3))/(3)，
∴CD=O₁D-O₁C=(4√(3))/(3)-2，
又∵cos∠O₂O₁B=(9+12−1)/(12√(3))=(5√(3))/(9)，
则PD²=4+(16)/(3)-(16√(3))/(3)cos∠O₂O₁B=4+(16)/(3)-(16√(3))/(3)×(5√(3))/(9)=(4)/(9)，
∴PD=(2)/(3)，
∴CD+3PD=(4√(3))/(3)-2+3×(2)/(3)=(4√(3))/(3)．
故选D．