在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且sin（B+C）=3sinAcosB．（1）求sinB的值；（2）若，且a=c，求△ABC的面积．

Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且sin（B+C）=3sinAcosB．
（1）求sinB的值；
（2）若，且a=c，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知等式的左边，再由sinA不为0，两边同时除以sinA，得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinB的值；
（2）在三角形ABC中，由b，cosB的值以及a=c，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再由sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（1）∵A+B+C=π，即B+C=π-A，
∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
又sin（B+C）=3sinAcosB，
∴sinA=3sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=，又B为三角形的内角，
∴sinB==；
（2）在△ABC中，b=4，cosB=，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=32，
又a=c，∴a²=32，即a²=24，
则△ABC的面积S=acsinB=a²sinB=×24×=8．