如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0，c<0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．（1）若△ABC为直角三角形，求a•c的值；（2）在a=1的条件下，①若b=-2，c=-3，点D为抛物线上的动点，求满足△ABD为直

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a>0，c<0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．

（1）若△ABC为直角三角形，求a•c的值；
（2）在a=1的条件下，
①若b=-2，c=-3，点D为抛物线上的动点，求满足△ABD为直角三角形的点D的坐标．
②若过点A、B、C三点的圆交y轴于另一点E，证明：不论b，c取何值，点E为定点．

Answer 1

（1） 如图1中，设A（x₁，0），B（x₂，0），

∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAB+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴(OA)/(CO)=(CO)/(OB)，
∴OC²=OA•OB，
∵OC=-c，OA•OB=-x₁•x₂，x₁x₂=(c)/(a)，
∴c²=-x₁x₁，
∴c²=-(c)/(a)，
∴ac=-1．

（2）①如图2中，设AB的中点为K（1，0），D（m，m²-2m-3）．

由题意KD=2，
∴（m-1）²+（m²-2m-3）²=4，
∴m²-2m+1+（m²-2m-3）²=4，
∴m²-2m-3+（m²-2m-3）²=0，
∴（m²-2m-3）（1+m²-2m-3）=0，
∴m²-2m-3=0或m²-2m-2=0，
解得m=1+√(3)或1-√(3)或-1或3，（m=-1或m=3不合题意舍弃）
∴D（1-√(3)，-1），D′（1+√(3)，-1）．

②证明：如答图3，连接AD、BC．

∵∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOE∽△COB，
∴(OE)/(OB)=(OA)/(OC)，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知抛物线y=x2+bx+c（c<0），∴OC=-c，x₁x₂=c．
∴(OE)/(x2)=(x1)/(-c)，
∴OE=(-x1x2)/(-c)=(-c)/(-c)=1
∴无论b，c取何值，点E均为定点，该定点坐标E（0，1）．