已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转．（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=12FC；（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长

Question

已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转．
（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=(1)/(2)FC；
（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；
（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求(EH)/(CF)的值．

Answer 1

（1）证明：延长FE交AB于点Q，如图1，
∵四边形EFBG是正方形，
∴EF=EB，∠EFB=∠EBF=45°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∴∠BQF=∠QBE=45°．
∴QE=EB．
∴QE=EF．
∵AH=FH，
∴HE=(1)/(2)AQ．
∵∠BQF=∠BFQ=45°，
∴BQ=BF．
∵AB=BC，
∴AQ=CF．
∴HE=(1)/(2)CF．
（2）延长EH交AB于点N，如图2，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF∥BG，EF=EB=BG=2．
∵EF∥AG，
∴∠FEH=∠ANH，∠EFH=∠NAH．
在△ANH和△FEH中，

∠FEH＝∠ANH

∠EFH＝∠NAH

AH＝FH

∴△ANH≌△FEH．
∴NH=EH，AN=EF．
∵AB=5，AN=EF=2，
∴BN=AB-AN=3．
∵∠NBE=90°，BE=2，BN=3，
∴EN=√(22+32)=√(13)．
∵∠NBE=90°，EH=NH，
∴BH=(1)/(2)EN=(√(13))/(2)．
∴BH的值为(√(13))/(2)．
（3）过点A作EF平行线交EB的延长线于点T，
延长EH交AT于S，连接SB、EC，如图3，
∵EF∥AS，
∴∠FEH=∠ASH，∠EFH=∠SA