如果函数f（x）=12（m-2）x2+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[12，2]上单调递减，求mn的最大值．

Question

如果函数f（x）=(1)/(2)（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[(1)/(2)，2]上单调递减，求mn的最大值．

Answer 1

当m=2时，f（x）=（n-8）x+1，若函数在区间[(1)/(2)，2]上单调递减，
则n-8<0，则0<n<8，此时mn<16，
当m≠2时，抛物线的对称轴为x=-(n-8)/(m-2)．据题意，
当m>2时，-(n-8)/(m-2)≥2，即2m+n≤12．
∵√(2m•n)≤(2m+n)/(2)≤6，∴mn≤18．
由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．
当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，-(n-8)/(m-2)≤(1)/(2)，即2m+n≤18．
∵√(2m•n)≤(2m+n)/(2)≤9，∴mn≤(81)/(2)，
由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．
要使得mn取得最大值，应有m+2n=18，（m<2，n>8），
∴mn=（18-2n）n<（18-2×8）×8=16，
故mn最大值为18．