在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=sin（A-B）．若1≤a≤6，则sinC的取值范围是．

Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=sin（A-B）．若1≤a≤6，则sinC的取值范围是___．

Answer 1

∵sinA-sinC=sin（A-B）．
∴sinA=sin（A-B）+sinC=sin（A-B）+sin（A+B）=2sinAcosB，
∴由sinA≠0，可得：cosB=(1)/(2)，
∵c=6，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²-6a+36，
∴b=√(a2-6a+36)，
于是由正弦定理可得sinC=(csinB)/(b)=(6×(√(3))/(2))/(√(a2-6a+36))=(3√(3))/(√((a-3)2+27))，
∵1≤a≤6，√((a-3)2+27)∈[3√(3)，6]，
从而得到sinC的取值范围是：[(√(3))/(2)，1]．
故答案为：[(√(3))/(2)，1]．