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如图,在平面直角坐标系O中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿

题目详情
如图,在平面直角坐标系 O 中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t秒,当t=2秒时PQ= .
(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围;
(2)连接AQ并延长交 轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则
△A EF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.
(3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,
在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC= = =4,
∴OC=OP+P C=4+4=8,
又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4).
点P到达终点所需时间为8÷2=4秒,点Q到达终点所需时间为4 ÷1=4秒,由题意可知,t的取值范围为:0<t<4。
(2)结论:△AEF的面积S不变化.
∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC,
= ,即 = ,解得CE=
由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4-t,则CF=CD+DF=8-t.
S=S 梯形AOCF +S △FCE -S △AOE
= (OA+CF)OC+ CFCE- OAOE
= [4+(8-t)]×8+ (8-t) - ×4×(8+
化简得:S=32为定值.
所以△AEF的面积S不变化,S=32.
(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF.
由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF,
∴CP:AD=CQ:DF,即8-2t:8= t:4-t,化简得t 2 -12t+16=0,
解得:t 1 =6+2 ,t 2 =
由(1)可知,0<t<4,∴t 1 =6+2 不符合题意,舍去.
∴当t=(6-2 )秒时,四边形APQF是梯形.

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