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如图,在平面直角坐标系O中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿
题目详情
如图,在平面直角坐标系 O 中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t秒,当t=2秒时PQ= . (1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围; (2)连接AQ并延长交 轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则 △A EF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值. (3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形? |
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▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2, 在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC= = =4, ∴OC=OP+P C=4+4=8, 又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4). 点P到达终点所需时间为8÷2=4秒,点Q到达终点所需时间为4 ÷1=4秒,由题意可知,t的取值范围为:0<t<4。 (2)结论:△AEF的面积S不变化. ∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC, ∴ = ,即 = ,解得CE= 。 由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4-t,则CF=CD+DF=8-t. S=S 梯形AOCF +S △FCE -S △AOE = (OA+CF)OC+ CFCE- OAOE = [4+(8-t)]×8+ (8-t) - ×4×(8+ ) 化简得:S=32为定值. 所以△AEF的面积S不变化,S=32. (3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF. 由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF, ∴CP:AD=CQ:DF,即8-2t:8= t:4-t,化简得t 2 -12t+16=0, 解得:t 1 =6+2 ,t 2 = , 由(1)可知,0<t<4,∴t 1 =6+2 不符合题意,舍去. ∴当t=(6-2 )秒时,四边形APQF是梯形. |
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