如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，3），B（2，3），C（2，-3），D（0，-3）．点P，Q是长方形ABCD边上的两个动点，BC交x轴于点M．点P从点O出发以每秒1个单位长度沿O→A→B→M的路

Question

如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，3），B（2，3），C（2，-3），D（0，-3）．点P，Q是长方形ABCD边上的两个动点，BC交x轴于点M．点P从点O出发以每秒1个单位长度沿O→A→B→M的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿O→D→C→M的路线做匀速运动．当点Q运动到点M时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒，四边形OPMQ的面积为S．

（1）当t=2时，求S的值；
（2）若S<5时，求t的取值范围．

Answer 1

设三角形OPM的面积为S₁，三角形OQM的面积为S₂，则S=S₁+S₂．
（1）当t=2时，点P（0，2），Q（1，-3），过点Q作QE⊥x轴于点E．
∵S₁=(1)/(2)OP•OM=(1)/(2)×2×2=2，
S₂=(1)/(2)QE•OM=(1)/(2)×3×2=3，
∴S=S₁+S₂=5；

（2）设点P运动的路程为t，则点Q运动的路程为2t．
①当0<t≤1.5时，点P在线段OA上，点Q在线段OD上，
此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去．
②当1.5<t≤2.5时，点P在线段OA上，点Q在线段DC上．
S=(1)/(2)×2t+(1)/(2)×2×3=t+3，
∵S<5，
∴t+3<5，解得t<2．
此时1.5<t<2．
 ③当2.5<t≤3时，点P在线段OA上，点Q在线段CM上．
S=(1)/(2)×2t+(1)/(2)×2（8-2t）=8-t，
∵S<5，
∴8-t<5，解得t>3．
 ④当3<t<4时，点P在线段AB上，点Q在线段CM上．
S=(1)/(2)×2×3+(1)/(2)×2（8-2t）=11-2t，
∵S<5，
∴11-2t<5，解得t>3．
此时3<t<4．
 ⑤当t=4时，点P是线段AB的中点，点Q与M重合，两动点均停止运动．
此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去．
综上所述，当S<5时，1.5<t<2或3<t<4．