已知f（x）=（x+1）|x|-3x．若对于任意x∈R，总有f（x）≤f（x+a）恒成立，则常数a的最小值是．

Question

已知f（x）=（x+1）|x|-3x．若对于任意x∈R，总有f（x）≤f（x+a）恒成立，则常数a的最小值是___．

Answer 1

f（x）=（x+1）|x|-3x=

x2-2x，x≥0

-x2-4x，x<0

，
作出分段函数图象如图：
作平行于x轴的直线l与f（x）有3个交点，
设最左边的点为M，最右边的点为N，则a的最小值为线段MN长度的最大值，
设直线l：y=t，则
MN=3+√(1+t)+√(4-t)=3+√((√(1+t)+√(4-t))2)
=3+√(5+2√((1+t)(4-t)))≤3+√(5+1+t+4-t)=3+√(10)．
当且仅当1+t=4-t，即t=(3)/(2)是上式取“=”．
故答案为：3+√(10)．