数学题（初中）x^2-3xy-10y^2+x+9y-2若x^4-6x^3+13x^2+kx+4是一个完全平方,求常数K的值求多项式2x^2-4xy+5y^2-12y+13的最小值已知x+y+z=3,且(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0求证:x,y,z中至少有一个等于1如果关于x的不等式|

Question

数学题（初中）
x^2-3xy-10y^2+x+9y-2
若x^4-6x^3+13x^2+kx+4是一个完全平方,求常数K的值
求多项式2x^2-4xy+5y^2-12y+13的最小值
已知x+y+z=3,且(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0
求证:x,y,z中至少有一个等于1
如果关于x的不等式|x-2|-|x-1|>m无解,求m的取值范围
求证:任何正整数的平方除以3,其余数不能是2.
非常感谢个位大虾^^

Answer 1

1.添项、拆项,得
x^2-3xy-10y^2+x+9y-2
=(x+2y)(x-5y)+2x+4y-x+5y-2
=(x+2y)(x-5y)+2(x+2y)-(x-5y+2)
=(x+2y)(x-5y+2)-(x-5y+2)
=(x+2y-1)(x-5y+2)
2.k＝－12
设
x^4-6x^3+13x^2+kx+4
=(x^2-mx+n)^2
=x^4-2mx^3+(m^2+2n)x^2-2mnx+n^2,
对比系数知,
2m=6,
n^2=4,
m^2+2n=13,
-2mn=k,
解得,
m＝3,
n＝2,
k＝－12
3.配方：2x^2-4xy+2y^2+3y^2-12y+12+1
=2（x-y)^2+3(y-2)^2+1
当x=2,y=2时,取最小值,最小值为1
4.方法1
证明：由x+y+z=3可知（x-1）+（y-1）+（z-1）=0.
∴（x-1）^3+（y-1）^3+（z-1）^3=3（x-1）（y-1）（z-1）=0
∴ x=1或y=1或z=1
即x、y、z中至少有一个等于1.
方法2
根据题目的意思 (x-1)+(y-1)+(z-1) = 0 设 a=x-1,b=y-x,c=z-1 所以 a+b+c=0 a^3+b^3+c^3=0 所以 a+b=-c a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3 =-c*(a^2-ab+b^2)+c^3 =c*(c^2-a^2-b^2+ab) =c*[(a+b)^2-a^2-b^2+ab] =3abc 所以 3abc=0 显然,a、b、c中必然有一个为0
5.|x-2|-|x-1|>m无解,求m的取值范围
x>=2时,x-2-(x-1)>m,-3>m,m=-3
1m,-2x>m+3,m=-3-2x
xm,1>m,m=1
6.将正整数分成N=3K.3K+1,3K+2
N=3K时,N^2=9K^2,此时除以3,没有余数
N=3K+1时,N^2=9K^2+6K+1,此时除以3,余数为1
N=3K+2时,N^2=9K^2+12K+4,此时除以3,余数为1
综上,可知余数只有0或1,所以余数不能是2