如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．（1）试说明△ABC∽△DBE；（2）当∠A=30°，AF=3时，求⊙O中劣弧AC的长．

Question

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．

（1）试说明△ABC∽△DBE；
（2）当∠A=30°，AF=√(3)时，求⊙O中劣弧

AC

的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（1分）
∵CD⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ACB=∠DEB（2分）
又∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DEB．（3分）
（2）连接OC，则OC=OA，（4分）
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=120°（5分）
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=90°（6分）
在Rt△AFO中，cos30°=(AF)/(AO)=(√(3))/(AO)，
∴AO=2（7分）
∴AC弧的长为(120)/(180)π•2=(4)/(3)π．（9分）