如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在BC边上（1）如果FE⊥AE，求证：FE=AE；（2）如果FE=AE，求证：FE⊥AE．

Question

如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在BC边上
（1）如果FE⊥AE，求证：FE=AE；
（2）如果FE=AE，求证：FE⊥AE．

Answer 1

证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵矩形对边AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=CE，
∵矩形ABCD的对边AD=BC，
∴AD=CE，
∵FE⊥AE，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
在△ADE和△ECF中，

∠DAE＝∠CEF

AD＝CE

∠C＝∠D＝90°

，
∴△ADE≌△ECF（ASA），
∴FE=AE；

（2）同（1）可证AD=CE，
在Rt△ADE和Rt△ECF中，

FE＝AE

AD＝CE

，
∴Rt△ADE≌Rt△ECF（HL），
∴∠DAE=∠CEF，
∴∠AED+∠CEF=∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AEF=180°-（∠AED+∠CEF）=180°-90°=90°，
∴FE⊥AE．