四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，当点E在线段AC上时．①求证：矩形DEFG是正方形；②求证：AC=C

Question

四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，当点E在线段AC上时．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②求证：AC=CE+CG；
（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；
（3）直接写出∠FCG的度数．

Answer 1

（1）①证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，

∠QEF=∠PED

EQ=EP

∠EQF=∠EPD

，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②∵∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△AED和△CGD中，

AD=CD

∠ADE=∠CDG

DE=DG

，
∴△AED≌△CGD，
∴AE=CG，
∴AC=CE+AE=CE+CG；
（2）AC+CE=CG，
证明：由（1）得，矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

AD=DC

∠ADE=∠CDG

DE=DG

，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，
∴AC+CE=CG；
（3）如图1，当点E为线段AC上时，
∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=135°；
如图2，当点E为线段AC的延长线上时，
∠FCG=∠FCD-∠DCG=45°．