在三角形ABC中,已知向量AM与向量AN分别是向量AB向量与AC向量方向上的单位向量,且满足AM向量点乘AN向量等于二分之一,（AM向量加AN向量）点乘BC向量等于零（1）试判断三角形ABC的形状（2）若

Question

在三角形ABC中,已知向量AM与向量AN分别是向量AB向量与AC向量方向上的单位向量,且满足AM向量点乘AN向量等于二分之一,（AM向量加AN向量）点乘BC向量等于零
（1）试判断三角形ABC的形状
（2）若点P满足PA向量加PB向量加PC向量等于BC向量,且BC向量的模等于3,求CP向量的模

Answer 1

(1). |AM|*|AN|*cosA=cosA=1/2, A=pi/3,（AM向量加AN向量）点乘BC向量等于零==> MN 与 BC 垂直,而三角形 AMN 是等边三角形,所以BC和MN平行,进而ABC也是等边三角形.
(2). 设 A坐标=0+0i,C坐标=x+0i,B坐标=x/2 + x*sqrt(3)/2 i,P坐标=a+bi,则BC向量为 x/2- x*sqrt(3)/2 i,根据题意, x=3, A-P+B-P+C-P=(3/2*x-3a)+(x*sqrt(3)/2-3b)i=x/2- x*sqrt(3)/2 i,从而可以解得 a=1, b=sqrt(3), |CP|=sqrt[ (x-1)^2+b^2 ]=sqrt(7)