在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“出租车距离”，则圆x2+y2=1上一点与直线x+2y-4=0上一点的“出租车距离”的最小值为2-522-52．

Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“出租车距离”，则圆x²+y²=1上一点与直线x+2y-4=0上一点的“出租车距离”的最小值为

2-(√(5))/(2)

2-(√(5))/(2)

．

Answer 1

设直线x+2y-4=0上的任意一点坐标（x，y），
圆上任意一点的坐标为； （cosθ，sinθ）
由题意可知：d=|x-cosθ|+|2-(1)/(2)x-sinθ|
分类讨论：
①当2-(1)/(2)x-sinθ≤0，即x≥4-2sinθ时，
可知x＞1≥cosθ，即x-cosθ≥0
d=x-cosθ-（2-(1)/(2)x-sinθ）=(3)/(2)x-cosθ-2+sinθ
≥(3)/(2)（4-2sinθ）-cosθ-2+sinθ
=4-2sinθ-cosθ=4-√(5)sin（θ+α）
≥4-√(5)；
②当2-(1)/(2)x-sinθ＞0，x-cosθ≥0，即4-2sinθ＞x≥cosθ时，
d=x-cosθ+（2-(1)/(2)x-sinθ）=(1)/(2)x-cosθ+2-sinθ
≥(1)/(2)cosθ-cosθ+2-sinθ
=2-sinθ-(1)/(2)cosθ=2-(√(5))/(2)sin（θ+α）
≥2-(√(5))/(2)；
③当x-cosθ＜0，即x＜cosθ时，
d=-（x-cosθ）+（2-(1)/(2)x-sinθ）=-(3)/(2)x+cosθ+2-sinθ
＞-(3)/(2)cosθ+cosθ+2-sin