（2009•宁德）如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴

Question

（2009•宁德）如图，已知抛物线C₁：y=a（x+2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）由抛物线C₁：y=a（x+2）²-5得，
顶点P的坐标为（-2，-5），
∵点B（1，0）在抛物线C₁上，
∴0=a（1+2）²-5，
解得a=(5)/(9)；

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点B成中心对称，
∴PM过点B，且PB=MB，
∴△PBH≌△MBG，
∴MG=PH=5，BG=BH=3，
∴顶点M的坐标为（4，5），
抛物线C₂由C₁关于x轴对称得到，抛物线C₃由C₂平移得到，
∴抛物线C₃的表达式为y=−(5)/(9)（x-4）²+5；

（3）∵抛物线C₄由C₁绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，
作PK⊥NG于K，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），
∵顶点P的坐标为（-2，-5），
根据勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，
PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，
NF²=5²+3²=34，
①当∠PNF=90°时，PN²+NF²=PF²，解得m=(44)/(3)，
∴Q点坐标为（(19)/(3)，0）．
②当∠PFN=90°时，PF²+NF²=PN²，解得m=(10)/(3)，
∴Q点坐标为（(2)/(3)，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（(19)/(3)，0）或（(2)/(3)，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．