（2014•南昌模拟）已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令cn＝(−1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a-2）dn-2+2n-1，a∈R．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ

Question

（2014•南昌模拟）已知{a_n}是等差数列，公差为d，首项a₁=3，前n项和为S_n．令cn＝(−1)nSn(n∈N*)，{c_n}的前20项和T₂₀=330．数列{b_n}满足b_n=2（a-2）d^n-2+2^n-1，a∈R．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1≤b_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
因为cn＝(−1)nSn，
所以T₂₀=-S₁+S₂-S₃+S₄+…+S₂₀=330，
则a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330…（3分）
则10(3+d)+(10×9)/(2)×2d＝330
解得d=3
所以a_n=3+3（n-1）=3n…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知b_n=2（a-2）3^n-2+2^n-1b_n+1-b_n=2（a-2）3^n-1+2ⁿ-[2（a-2）3^n-2+2^n-1]
=4（a-2）3^n-2+2^n-1=4•3n−2[(a−2)+(1)/(2)((2)/(3))n−2]
由b_n+1≤b_n⇔(a−2)+(1)/(2)((2)/(3))n−2≤0⇔a≤2−(1)/(2)((2)/(3))n−2…（10分）
因为2−(1)/(2)((2)/(3))n−2随着n的增大而增大，
所以n=1时，2−(1)/(2)((2)/(3))n−2最小值为(5)/(4)，
所以a≤(5)/(4)…（12分）