已知函数y=12x2的图象在点（x0，12x02）处的切线为l，若l也为函数y=lnx（0<x<1）的图象的切线，则x0必须满足（）A.22<x0<1B.1<x0<2C.2<x0<3D.3<x0<2

Question

已知函数y=

(1)/(2)x²的图象在点（x₀，(1)/(2)x₀²）处的切线为l，若l也为函数y=lnx（0<x<1）的图象的切线，则x₀必须满足（　　）

A.

(√(2))/(2)<x₀<1

B. 1<x₀<

√(2)

C.

√(2)<x₀<√(3)

D.

√(3)<x₀<2

Answer 1

函数y=(1)/(2)x²的导数为y′=x，
在点（x₀，(1)/(2)x₀²）处的切线的斜率为k=x₀，
切线方程为y-(1)/(2)x₀²=x₀（x-x₀），
设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0<m<1，
即有y=lnx的导数为y′=(1)/(x0)，
可得x₀=(1)/(m)，切线方程为y-lnm=(1)/(m)（x-m），
令x=0，可得y=lnm-1=-(1)/(2)x₀²，
由0<m<1，可得x₀<2，且x₀²>1，
解得x₀>1，
由m=(1)/(x0)，可得(1)/(2)x₀²-lnx₀-1=0，
令f（x）=(1)/(2)x²-lnx-1，x>1，
f′（x）=x-(1)/(x)>0，f（x）在x>1递增，
且f（2）=1-ln2>0，f（√(3)）=(3)/(2)-(1)/(2)ln3-1=(1)/(2)（1-ln3）<0，
则有(1)/(2)x₀²-lnx₀-1=0的根x₀∈（√(3)，2）．
故选：D．