圆O:X^2+Y^2=1,圆C:（X-2)^2+(Y-4)^2=1,由圆外一点P(a,b)引两圆切线PA,PB,切点分别为A,B,满足PA=PB1求实数a,b满足的等量关系2求切线PA的最小值.3是否存在以P为圆心的圆,使它与圆O相内切并且与圆C相外切?

Question

圆O:X^2+Y^2=1,圆C:（X-2)^2+(Y-4)^2=1,由圆外一点P(a,b)引两圆切线PA,PB,切点分别为A,B,满足PA=PB
1求实数a,b满足的等量关系
2求切线PA的最小值.
3是否存在以P为圆心的圆,使它与圆O相内切并且与圆C相外切?

Answer 1

1.切线垂直于圆心到切点的那条半径.
所以,可以由勾股定理和两点间距离公式求得等量关系：
(a-2)^2+(b-4)^2=PA^2+1^2=a^2+b^2
即a+2b=5
2.由1得,a=5-2b
PA^2=a^2+b^2-1
把a=5-2b代入,得：PA^2=5(b-2)^2+4
所以当b=2,PAmin=2
3.设圆心坐标为（X,Y),半径为R
内切是,d1=R-1（d1为P到O的圆心距）
外切是,d2=R+1（d2为P到C的圆心距）
d1,d2可以用两点间距离公式算出
d2-d1=2.【1】
由双曲线的定义可知,P的轨迹（即【1】）,是以（0,0）、（2,4）为焦点、且实轴长为2的双曲线.
既然有轨迹,所以存在这样的P点.