已知圆Ox的平方+y的平方=1,圆C(x-2)的平方+(y-4)的平方=1,由两圆外一点p(a,b)引两圆切线QA,PB切点分别为A,B,满足|PA|=|PB|(1)求实数a,b间满足的等量关系(2)求切线长|PA|的最小值

Question

已知圆Ox的平方+y的平方=1,圆C(x-2)的平方+(y-4)的平方=1,由两圆外一点p(a,b)
引两圆切线QA,PB切点分别为A,B,满足|PA|=|PB|(1)求实数a,b间满足的等量关系(2)求切线长|PA|的最小值

Answer 1

（1）
过P点作圆O的另上切线PA1,过P点作圆C的另上切线PB1
则 PA=PA1, PB=PB1
∵|PA|=|PB|
∴|PA1|=|PB1|
则△PA1B1是等腰三角形
从而P点在两圆心连线的中垂线上
圆O及圆C半径均等于1
又 |PA1|^2=|PA1|^2-(圆O半径)^2=|PO|^2-1^2=a^2+b^2-1
|PB1|^2=|PA1|^2-(圆C半径)^2=|PC|^2-1^2=(a-2)^2+(b-4)^2-1
∵|PA1|=|PB1|
∴a^2+b^2-1=(a-2)^2+(b-4)^2-1
则 a^2+b^2-1=a^2-4a+4+b^2-8b+16-1
0=-4a-8b+20
4a+8b=20
∴实数a,b间满足的等量关系是：a+2b=5
（2）
∵由(1)得P点在两圆心连线的中垂线上
∴P点为两圆心连线中点时|PA|最小
此时 OA=圆O半径=1
两圆O与C的圆心距离OC=√[(0-2)^2+(0-4)^2]=√20=2√5
则OP=1/2OC=1/2*2√5=√5
在直角三角形POA中,由勾股定理,得 PA^2=OP^2-OA^2=(√5)^2-1^2=5-1=4
∴切线长|PA|的最小值=√4=2