求y=2sinx+sin2x值域

Question

求 y=2sinx+sin2x 值域

Answer 1

显然,T=2π是y的一个周期,
只需考虑y=2sinx+sin2x在[0,2π)上的值域,
先来求该函数在[0,2π)上的极值点,
y'=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos²x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)=0得
cosx=1/2或cosx=-1,
得极值 x=π/3,π或5π/3；
所以y=2sinx+sin2x 的最大值和最小值只能在极值点x=π/3,π或5π/3和边界点x=0中取,
x=π/3时,y=3√3/2,
x=π时,y=0,
x=5π/3时,y=-3√3/2,
x=0时,y=0,
所以最小值为-3√3/2,最大值为3√3/2
即y=2sinx+sin2x 值域为[-3√3/2,3√3/2].