已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12（a<0），且f（a2-4）=f（2a-8），则f(n)-4an+1(n∈N+)的最小值为（）A.374B.358C.283D.274

Question

已知函数f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a<0），且f（a²-4）=f（2a-8），则

(f(n)-4a)/(n+1)(n∈N+)的最小值为（　　）

A.

(37)/(4)

B.

(35)/(8)

C.

(28)/(3)

D.

(27)/(4)

Answer 1

函数f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a<0）的对称轴为x=-(a+8)/(2)，
由题意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-(a+8)/(2)），
解得a=1或a=-4，
由a<0，可得a=-4，f（x）=x²+4x，即有f（n）=n²+4n，
则(f(n)-4a)/(n+1)(n∈N+)=(n2+4n+16)/(n+1)=((n+1)2+2(n+1)+13)/(n+1)
=（n+1）+(13)/(n+1)+2≥2√((n+1)•(13)/(n+1))+2=2√(13)+1，
当且仅当n+1=(13)/(n+1)即n=√(13)-1时取等号，
但n为正整数，且√(13)-1∈（2，3），由n=2时，(n2+4n+16)/(n+1)=(28)/(3)；
n=3时，(n2+4n+16)/(n+1)=(37)/(4)<(28)/(3)．
故当n=3时原式取最小值(37)/(4)．
故选：A．